Алгоритми в шкільному курсі математики
Алгоритм – це точний і зрозумілий опис послідовності дій над заданими об’єктами, що дозволяє отримати кінцевий результат. Ми вже не раз зустрічалися з алгоритмами в інших предметах, наприклад, у хімії отримання тієї чи іншої сполуки можна описати за допомогою алгоритму. Та найбільше прикладів алгоритмів у математиці – науці, в якій зародилося саме це поняття. По суті, математика займається вивченням різних алгоритмів і створенням нових. До алгоритмів із шкільного курсу математики можна віднести правила виконання арифметичних дій, правила знаходження розв’язків рівнянь тощо. У вигляді алгоритмів можна сформулювати правила побудови різних геометричних фігур (згадаймо задачі на побудову ), а також рекомендації щодо розв'язання багатьох типових задач. Використовувати алгоритми доцільно починаючи вже з 5 класу, а, особливо, з 6 класу при вивченні тем «Найбільший спільний дільник», «Найменше спільне кратне» та «Зведення дробів до спільного знаменника». Алгоритм зведення дробів до спільного знаменника доречним буде і в 8 класі при вивченні теми «Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками».
У математиці часто виникає необхідність знаходження єдиного методу розв'язання деякого класу типових задач. Такі класи, наприклад, утворюють задачі на знаходження найбільшого спільного дільника цілих чисел, задачі на знаходження найменшого спільного кратного, задачі на складання рівнянь та інші. Для підвищення вміння розв’язувати такі задачі варто запропонувати учням алгоритми розв’язування задач.
Як навчити учнів розв’язувати задачі на складання рівнянь за допомогою алгоритму.
Розглянемо використання алгоритмів на конкретних прикладах. Так, при вивченні теми «Розв’язування задач за допомогою рівнянь» в учнів виникають труднощі при визначенні способу розв’язування певного типу задач, при складанні рівнянь (часто не розуміють звідки його взяти). Щоб ліквідувати ці прогалини варто використати «Алгоритм розв’язування задач за допомогою рівнянь» удосконаливши його (див. додатки)і прокоментувавши його застосування. Наприклад, після визначення типу задачі запропонувати учням поставити собі запитання: чи вмію я розв’язувати такий тип задач? Якщо не вмію, то який матеріал з підручника мені потрібно повторити чи вивчити? І тільки після з’ясування цих питань можна переходити до наступного пункту. При визначенні відомих, невідомих і частково відомих величин (наприклад, друга величина у два рази більша від першої, а про першу нічого невідомо ) варто з’ясувати: чи розуміють учні зміст поняття «частково відомі величини». При виконанні пункту 3 цього алгоритму повторити, які вирази називаються раціональними. Покажемо це на прикладах розв’язання конкретної задачі.
Приклад.
Катер пройшов відстань між пристанями за течією річки за 2 год, а назад – за 2,5 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 2 км/год. Після визначення типу задачі пропоную учням запитання:
- що таке власна швидкість катера?
- що означає швидкість за течією?
- що означає швидкість проти течії?
- як знайти відстань, швидкість і час?
З’ясувавши ці питання, переходимо до визначення невідомих та частково відомих величин, складання раціональних виразів та рівняння. Розв’язавши рівняння, пропоную (обов’язково!) перевірити чи задовольняють знайдені розв’язки умову задачі (щоб не вийшло, що лимон важить цілих вісім тонн).
Як використовувати «Алгоритм розв’язування геометричної задачі»
При розв’язуванні геометричних задач часто виникають труднощі з скороченим записом даних (особливо коли дано суму, різницю чи відношення геометричних величин) і шуканих елементів з умови задачі, що призводить до неправильного розв’язання або учень взагалі втрачає інтерес до розв’язування цієї задачі. Для ліквідації цих труднощів пропоную «Алгоритм розв’язування геометричної задачі» (див. додатки). Після коментування алгоритму учителем, учневі набагато легше дається розв’язання задачі – складання «ічного ланцюжка», починаючи від шуканого елементу.
Приклад.
Знайдіть кут між основою і бісектрисою, проведеною до бічної сторони рівнобедреного трикутника, якщо кут при вершині дорівнює 300.
Щоб перевірити чи учень правильно зрозумів умову задачі і щоб націлити його на правильне розв’язання пропоную дати відповіді на такі питання:
- який трикутник називають рівнобедреним?
- що тобі відомо про кути рівнобедреного трикутника?
- що таке бісектриса кута трикутника?
- чи знаєш який вигляд має рівнобедрений трикутник?
Після з’ясування цих питань пропоную зробити малюнок, за малюнком та умовою задачі записати що дано і що знайти, скласти «ічний ланцюжок» розв’язання, починаючи від шуканого елементу.
Складання алгоритмів учнями
Навчання за допомогою алгоритмів не зводиться тільки до використання готових алгоритмів. Побудова алгоритму дії починається з постановки задачі, а це є процес творчого характеру. Опанування алгоритмічного підходу є чудовим засобом розвитку творчого мислення школярів.
Учням старшої вікової групи можна запропонувати самим скласти алгоритм розв’язання поставленого завдання.
Так, учням 11 класу можна запропонувати скласти алгоритм побудови графіка функції. Всі етапи цього алгоритму одинадцятикласникам вже відомі. Учням потрібно, застосовуючи аналітично-ічне мислення, скласти ці етапи в правильній послідовності. Зразок такого алгоритму запропонований в додатках. Враховуючи особливості класу, вчитель може включити до цього алгоритму (для визначення опуклості та вгнутості графіка функції) знаходження другої похідної.
Такий спосіб використання алгоритмів стимулює пізнавальну активність і самостійність учнів. Учень виступає «суб’єктом » навчання, виконує творчі завдання, вступає в діа з учителем. В контексті особистісно орієнтованого навчання математики, – кожен учень, використовуючи готові чи складені самим, алгоритми, вчиться аналізувати теоретичний матеріал, виділяти головне, узагальнювати і систематизувати.
Учителю, складені ним чи учнями алгоритми, доцільно використовувати як роздатковий матеріал на уроках, а учням рекомендувати записувати ці алгоритми в окремий зошит (папку з файлами ) і користуватися цими записами як довідковим матеріалом.